Se lo sviluppo agile del software consiste nel suddividere le grandi applicazioni monolitiche in piccoli microservizi interconnessi, la programmazione dinamica adotta un approccio simile ai problemi complessi.
Ma la programmazione dinamica non è necessariamente un concetto di programmazione informatica. Da quando il matematico Richard E. Bellman l'ha sviluppata negli anni '50, la programmazione dinamica è stata utilizzata per risolvere problemi complessi in tutti i settori.
In questo post del blog, vediamo come utilizzare il concetto e i suoi principi per migliorare le prestazioni del vostro team di software.
Cos'è la programmazione dinamica?
La programmazione dinamica si riferisce alla scomposizione di un problema complesso in sottoproblemi più semplici in modo ricorsivo.
Suggerisce un approccio "divide et impera", dividendo i grandi problemi in parti facili da gestire. Risolvendo il più piccolo dei sottoproblemi e procedendo per gradi, è possibile combinare le soluzioni per ottenere la risposta al problema complesso originale.
A proposito del nome, Bellman scrive di aver scelto la parola "dinamico" perché rappresenta qualcosa che è a più fasi o che varia nel tempo. Ha anche un significato assolutamente preciso nel senso fisico classico, oltre che come aggettivo. Ha preferito la parola "programmazione" perché la trovava più adatta di pianificazione, decisione o pensiero.
In questo senso, la programmazione dinamica è sia un metodo che una struttura collaudata.
La struttura della programmazione dinamica
Per utilizzare efficacemente i metodi di programmazione dinamica, è necessario comprendere due proprietà chiave:
Sottostruttura ottimale
La sottostruttura ottimale o ottimalità è il processo ricorsivo di scomposizione di problemi complessi in sottoproblemi che devono garantire che le soluzioni ottimali per quelli più piccoli si combinino per risolvere quello originale. L'ottimalità sottolinea l'importanza del modo in cui si scompongono i problemi.
fonte Wikimedia Commons
L'equazione di Bellman
L'equazione di Bellman è uno strumento importante che aiuta a costruire la sottostruttura ottimale. Scompone un problema complesso in sottoproblemi più semplici, esprimendo il valore di una decisione/azione in base a due elementi:
- La ricompensa immediata della decisione/azione
- Il valore scontato dello stato successivo come risultato di quella decisione/azione
Supponiamo che stiate decidendo il percorso migliore per raggiungere il vostro ufficio da casa. Utilizzando la programmazione dinamica, si può suddividere il viaggio in alcune tappe fondamentali. Quindi, si applicherebbe l'equazione di Bellman per considerare il tempo necessario per raggiungere una tappa (ricompensa immediata) e il tempo stimato per raggiungere quella successiva (valore scontato).
Applicando iterativamente l'equazione di Bellman, si può trovare il valore più alto per ogni stato e la soluzione migliore per il problema originale.
Equazione di Hamilton-Jacobi
L'equazione di Hamilton-Jacobi amplia l'equazione di Bellman descrivendo la relazione tra la funzione valore e la dinamica del sistema. Questa equazione viene utilizzata per i problemi a tempo continuo per ricavare direttamente la legge di controllo ottimale, ossia l'azione da intraprendere in ogni stato.
Relazione di ricorrenza
La relazione di ricorrenza definisce ogni termine della sequenza in termini di termini precedenti. In questo modo è possibile determinare ricorsivamente la sequenza specificando prima una condizione iniziale e poi la sua relazione con ogni elemento successivo.
Di conseguenza, più forte è la soluzione per ogni sottoproblema, più efficace è la soluzione per il problema principale.
Sovrapposizione di sottoproblemi e memorizzazione nella programmazione dinamica
La sovrapposizione di sottoproblemi si verifica quando lo stesso problema fa parte di più sottoproblemi, che vengono risolti ripetutamente nel processo di risoluzione del problema originale. La programmazione dinamica previene questa inefficienza memorizzando le soluzioni in una tabella o in un array per riferimenti futuri.
La memorizzazione ottimizzata fa un ulteriore passo avanti. Memorizza i risultati di funzioni costose e li riutilizza quando si ripresentano gli stessi input. In questo modo si evitano calcoli ridondanti, migliorando notevolmente l'efficienza dell'algoritmo.
La valutazione pigra, nota anche come call-by-need, rimanda semplicemente la valutazione di un'espressione fino a quando il valore è effettivamente necessario. Anche questo aumenta l'efficienza, evitando calcoli inutili e migliorando le prestazioni.
In sintesi, questa è la struttura e l'approccio alla programmazione dinamica per la risoluzione dei problemi.
- Identificare i sottoproblemi che si sovrappongono: Con l'aiuto di modelli di dichiarazione del problema è possibile determinare quali sottoproblemi vengono risolti più volte
- Eseguire una valutazione pigra: Esegue solo le valutazioni per le quali i valori sono necessari
- Memorizzare i risultati: Utilizzare strutture dati (come dizionari, array o tabelle hash) per memorizzare i risultati di questi sottoproblemi
- Riutilizzare i risultati: Prima di risolvere un sottoproblema, verificare se il suo risultato è già memorizzato. Se lo è, riutilizzare il risultato memorizzato. In caso contrario, risolvere il sottoproblema e memorizzare il risultato per un uso futuro
Ora che abbiamo visto come funziona la programmazione dinamica in teoria, vediamo alcuni degli algoritmi più comuni che utilizzano questa tecnica.
Algoritmi comuni di programmazione dinamica
L'algoritmo di programmazione dinamica da utilizzare dipende dalla natura del problema da risolvere. Ecco alcuni degli algoritmi più comunemente utilizzati oggi.
Algoritmo di Floyd-Warshall
L'algoritmo di Floyd-Warshall viene utilizzato per trovare i percorsi più brevi tra tutte le coppie di vertici in un grafo ponderato. Rappresenta in modo iterativo la distanza più breve tra due vertici qualsiasi, considerando ogni vertice come un punto intermedio.
Algoritmo di Dijkstra
L'algoritmo di Dijkstra trova il percorso più breve da un singolo nodo sorgente a tutti gli altri nodi di un grafo ponderato. Si utilizza in grafi con pesi dei bordi non negativi. Adotta l'approccio greedy per effettuare la scelta localmente ottimale a ogni passo e trovare il percorso più breve complessivo.
Algoritmo di Bellman-Ford
L'algoritmo di Bellman-Ford trova i percorsi più brevi da un singolo vertice sorgente a tutti gli altri vertici di un grafo ponderato, anche se contiene bordi con peso negativo. Funziona aggiornando iterativamente la distanza più breve conosciuta da ogni vertice, considerando ogni bordo del grafo e migliorando il percorso trovandone uno più breve.
Algoritmo di ricerca binaria
L'algoritmo di ricerca binaria trova la posizione di un valore target in un array ordinato. Inizia con l'intervallo di ricerca dell'intero array e divide ripetutamente l'intervallo di ricerca a metà.
L'algoritmo confronta il valore target con l'elemento centrale dell'array. Se il valore di destinazione è uguale all'elemento centrale, la ricerca è completa. Se è inferiore a, la ricerca continua nella metà sinistra dell'array. Se è maggiore di, la ricerca prosegue nella metà destra. Questo processo si ripete finché non si trova il valore di destinazione o l'intervallo di ricerca vuoto.
Vediamo alcuni esempi e applicazioni reali della programmazione dinamica.
Esempi di algoritmi di programmazione dinamica
Torre di Hanoi
fonte Wikimedia Commons Anche se non ne conoscete il nome, molto probabilmente avrete visto la Torre di Hanoi. Si tratta di un rompicapo in cui bisogna spostare una pila di dischi da un'asta all'altra, uno alla volta, assicurandosi sempre che non ci sia un disco più grande sopra uno più piccolo.
La programmazione dinamica risolve questo problema:
- Scomponendo il problema in n-1 dischi da spostare su un'asta ausiliaria
- Spostamento dell'ennesimo disco nell'asta di destinazione
- Spostamento degli n-1 dischi dall'asta ausiliaria all'asta di destinazione
Memorizzando il numero di spostamenti necessari per ogni sottoproblema (cioè il numero minimo di spostamenti per n-1 dischi), la programmazione dinamica assicura che ognuno di essi venga risolto una sola volta, riducendo così il tempo di calcolo complessivo. Utilizza una tabella per memorizzare i valori precedentemente calcolati per il numero minimo di mosse per ogni sottoproblema.
Moltiplicazione a catena di matrici
La moltiplicazione a catena di matrici descrive il problema del modo più efficiente per moltiplicare una sequenza di matrici. L'obiettivo è determinare l'ordine delle moltiplicazioni che minimizza il numero di moltiplicazioni scalari.
L'approccio di programmazione dinamica aiuta a suddividere il problema in sottoproblemi, calcolando il costo della moltiplicazione di catene di matrici più piccole e combinando i loro risultati. L'algoritmo risolve in modo iterativo per catene di lunghezza crescente e garantisce che ogni sottoproblema sia risolto una sola volta.
Problema della sottosequenza comune più lunga
Il problema della sottosequenza comune più lunga (LCS) mira a trovare la sottosequenza più lunga comune a due sequenze date. La programmazione dinamica risolve questo problema costruendo una tabella in cui ogni voce rappresenta la lunghezza della LCS.
Compilando iterativamente la tabella, la programmazione dinamica calcola in modo efficiente la lunghezza della LCS e la tabella fornisce la soluzione al problema originale.
Applicazioni reali della programmazione dinamica
Sebbene la programmazione dinamica sia una teoria matematica avanzata, è ampiamente utilizzata nell'ingegneria del software per una serie di applicazioni.
Allineamento di sequenze di DNA: In bioinformatica, i ricercatori utilizzano la programmazione dinamica per una serie di casi d'uso, come l'identificazione di somiglianze genetiche, la previsione di strutture proteiche e la comprensione delle relazioni evolutive.
Scomponendo il problema dell'allineamento in sottoproblemi più piccoli e memorizzando le soluzioni in una matrice, l'algoritmo calcola la migliore corrispondenza tra le sequenze. Questa struttura rende praticabili compiti altrimenti computazionalmente inefficaci.
Pianificazione e instradamento delle compagnie aeree: Rappresentando gli aeroporti come nodi e i voli come bordi diretti, i pianificatori utilizzano il metodo Ford-Fulkerson per trovare l'instradamento ottimale dei passeggeri attraverso la rete.
Aumentando iterativamente i percorsi con la capacità disponibile, questi algoritmi assicurano l'efficienza dei percorsi
e l'utilizzo e l'equilibrio tra domanda e disponibilità, aumentando l'efficienza e riducendo i costi.
Ottimizzazione del portafoglio in finanza: I banchieri d'investimento risolvono il problema dell'allocazione degli asset tra i vari investimenti per massimizzare i rendimenti e minimizzare il rischio utilizzando la programmazione dinamica.
Suddividendo il periodo di investimento in fasi, la programmazione dinamica valuta l'asset allocation ottimale per ogni fase, considerando i rendimenti e i rischi delle diverse attività. Il processo iterativo prevede l'aggiornamento della strategia di allocazione in base alle nuove informazioni e alle condizioni di mercato, affinando continuamente il portafoglio.
Questo approccio garantisce che la strategia d'investimento si adatti nel tempo, portando a un portafoglio equilibrato e ottimizzato, in linea con la tolleranza al rischio e gli obiettivi finanziari dell'investitore.
Pianificazione della rete di trasporto urbano: Per trovare i percorsi più brevi nelle reti di trasporto urbano, i pianificatori utilizzano la teoria dei grafi e dei percorsi, che si avvale della programmazione dinamica.
Ad esempio, nel sistema di trasporto pubblico di una città, le stazioni sono rappresentate come nodi e i percorsi come bordi con pesi corrispondenti ai tempi di percorrenza o alle distanze.
L'algoritmo di Floyd-Warshall ottimizza i percorsi di viaggio aggiornando iterativamente i percorsi più brevi utilizzando la relazione tra percorsi diretti e indiretti, riducendo il tempo di viaggio complessivo e migliorando l'efficienza del sistema di trasporto.
Nonostante le sue numerose applicazioni, la programmazione dinamica non è priva di sfide.
Sfide della programmazione dinamica
A differenza dell'approccio di ricerca Brute force, in cui si provano tutte le soluzioni possibili fino a trovare quella corretta, la programmazione dinamica offre la soluzione più ottimizzata per un problema di grandi dimensioni. Nel farlo, ecco alcuni fattori chiave da tenere a mente.
Gestione di più sottoproblemi
Sfida: La programmazione dinamica richiede la gestione di numerosi sottoproblemi per arrivare alla soluzione del problema più grande. Ciò significa che dovete:
- Considerare attentamente l'organizzazione dei risultati intermedi per evitare calcoli ridondanti
- Identificare, risolvere e memorizzare ogni sottoproblema in un formato strutturato come una tabella o un array di memoizzazione
- Gestire in modo efficiente la memoria quando la scala dei sottoproblemi aumenta
- Calcolare e recuperare accuratamente ogni sottoproblema
Soluzione: Per fare tutto questo e molto altro, è necessario un robusto sistema di
software di gestione dei progetti come ClickUp
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Definizione del problema
Sfida: I problemi complessi possono rappresentare un'enorme sfida per i team che devono comprendere, delineare e suddividere in sottoproblemi significativi.
Soluzione: Riunite il team e fate un brainstorming delle possibilità.
è un'ottima tela virtuale per ideare e discutere il problema e le tecniche di programmazione dinamica utilizzate. È inoltre possibile utilizzare un
software per la risoluzione dei problemi
per aiutare.
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Debug e test
Sfida: Il debug e il test delle soluzioni di programmazione dinamica possono essere complessi a causa dell'interdipendenza dei sottoproblemi. Gli errori in un sottoproblema possono influenzare l'intera soluzione.
Ad esempio, una relazione di ricorrenza errata nel problema della distanza di modifica può portare a risultati complessivi errati, rendendo difficile individuare la fonte esatta dell'errore.
Soluzioni
- Eseguire revisioni del codice
- Seguire la programmazione a coppie per far sì che altri membri del team rivedano il codice o lavorino insieme all'implementazione, individuando gli errori e fornendo prospettive diverse
- Utilizzare strumenti di analisi delle cause profonde per identificare l'origine degli errori ed evitare che si ripetano
Cattiva gestione del carico di lavoro
Sfida: Quando diversi membri del team sono responsabili di diverse parti dell'algoritmo, possono verificarsi incongruenze nella comprensione dei casi base, delle definizioni dei sottoproblemi e dei problemi non omogenei
che portano a risultati non corretti.
Soluzioni: Superare questa sfida implementando un'efficace
con
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.
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Coordinamento e collaborazione
Sfida: I problemi complessi richiedono una comprensione profonda e un'implementazione precisa. Assicurarsi che tutti i membri del team siano sulla stessa lunghezza d'onda per quanto riguarda la formulazione del problema, le relazioni di ricorrenza e la strategia generale è un compito enorme.
Soluzione: Creare una piattaforma di collaborazione unificata, come ClickUp. Il
consolida tutti i messaggi, consentendo di gestire tutte le conversazioni in un unico luogo. È possibile etichettare i membri del team e aggiungere commenti senza spostarsi da uno strumento all'altro.
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Ottimizzazione delle prestazioni
Sfida: L'ottimizzazione delle prestazioni di una soluzione di programmazione dinamica richiede un'attenta considerazione della complessità temporale e spaziale. È frequente che, mentre una parte del team ottimizza la complessità temporale, un'altra aumenti inavvertitamente la complessità spaziale, portando a prestazioni complessive non ottimali.
Soluzione:
viene in soccorso. Fornisce informazioni in tempo reale sulle prestazioni dell'intero progetto, con le quali è possibile misurare, regolare e ottimizzare le attività dinamiche del programma per ottenere una maggiore efficienza.
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Documentazione e trasferimento di conoscenze
Sfida: I team Agile danno priorità al software funzionante rispetto alla documentazione. Questo può rappresentare una sfida unica. Per esempio, se le relazioni di ricorrenza non sono ben documentate, i nuovi membri del team potrebbero avere difficoltà a capire e a costruire sulla soluzione esistente.
Soluzione: Creare un
che trovi un equilibrio tra la documentazione e il codice funzionante. Utilizzare
per creare, modificare e gestire la documentazione sul perché e sul come sono state progettate determinate decisioni.
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I problemi moderni sono, per loro stessa definizione, complessi. Soprattutto se si considera la profondità e la sofisticazione del software odierno, i problemi che i team di ingegneri devono affrontare sono immensi.
La programmazione dinamica offre un approccio efficiente ed efficace alla risoluzione dei problemi. Riduce i calcoli ridondanti e utilizza processi iterativi per rafforzare i risultati ottimizzando capacità e prestazioni.
Tuttavia, la gestione di iniziative di programmazione dinamica end-to-end richiede un'efficace gestione del progetto e un'attenta analisi dei costi
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FAQ comuni
1. Cosa si intende per programmazione dinamica?
Il termine programmazione dinamica si riferisce al processo di risoluzione algoritmica di problemi complessi suddividendoli in sottoproblemi più semplici. Il metodo dà priorità alla risoluzione di ogni sottoproblema una sola volta e memorizza la sua soluzione, in genere in una tabella, per evitare calcoli ridondanti.
2. Qual è un esempio di algoritmo di programmazione dinamica?
È possibile utilizzare la programmazione dinamica per determinare la strategia ottimale in qualsiasi situazione, dalla sequenza di Fibonacci alla mappatura spaziale.
Uno degli esempi di programmazione dinamica è il problema dello zaino. In questo caso, abbiamo una serie di oggetti, ciascuno con un peso e un valore, e uno zaino con una capacità massima di peso. L'obiettivo è determinare il valore massimo che si può trasportare nello zaino senza superare la capacità di peso.
La programmazione dinamica risolve questo problema suddividendolo in sottoproblemi e memorizzando i risultati di questi ultimi in una tabella. Utilizza poi questi risultati per costruire la soluzione ottimale al problema generale.
3. Qual è l'idea di base della programmazione dinamica?
L'idea di base è quella di affrontare i problemi di programmazione dinamica scomponendoli in sottoproblemi più semplici, risolvendo ciascuno di essi una sola volta e arrivando alla soluzione del problema più grande.