Si el desarrollo ágil de software consiste en descomponer aplicaciones grandes y monolíticas en microservicios pequeños e interconectados, la programación dinámica adopta un enfoque similar ante problemas complejos.
Pero la programación dinámica no es necesariamente un concepto de programación informática. Desde que el matemático Richard E. Bellman la desarrolló en la década de 1950, la programación dinámica se ha utilizado para resolver problemas complejos en todos los sectores.
En esta entrada del blog, veremos cómo puede utilizar el concepto y sus principios para mejorar el rendimiento de su equipo de software.
¿Qué es la programación dinámica?
La programación dinámica consiste en descomponer un problema complejo en subproblemas más sencillos de forma recursiva.
Sugiere un enfoque de divide y vencerás, dividiendo los grandes problemas en partes fáciles de gestionar. Resolviendo el más pequeño de los subproblemas y avanzando hacia arriba, se pueden combinar soluciones para llegar a la respuesta del complejo problema original.
Sobre la acuñación del nombre, Bellman escribe que eligió la palabra "dinámico" porque representa algo que tiene varias etapas o varía con el tiempo. También tiene un significado absolutamente preciso en el sentido físico clásico, así como cuando se utiliza como adjetivo. Prefería la palabra "programación" porque le parecía más adecuada que "planificación", "toma de decisiones" o "pensamiento".
En ese sentido, la programación dinámica es tanto un método como una estructura probada.
La estructura de la programación dinámica
Para utilizar eficazmente los métodos de programación dinámica, es necesario comprender dos propiedades clave:
Subestructura óptima
La subestructura óptima u optimalidad es el proceso recursivo de descomponer problemas complejos en subproblemas que deben garantizar que las soluciones óptimas de los más pequeños se combinan para resolver el original. La optimalidad subraya la importancia de la forma en que se descomponen los problemas.
fuente Wikimedia Commons
La ecuación de Bellman
La ecuación de Bellman es una herramienta importante que ayuda a construir la subestructura óptima. Descompone un problema complejo en subproblemas más sencillos expresando el valor de una decisión/acción en función de dos cosas:
- La recompensa inmediata de la decisión/acción
- El valor descontado del siguiente estado como resultado de esa decisión/acción
Supongamos que está decidiendo cuál es la mejor ruta para ir a la oficina desde casa. Utilizando la programación dinámica, dividirías el trayecto en varios hitos. A continuación, aplicaríamos la ecuación de Bellman para considerar el tiempo que se tarda en alcanzar un hito (recompensa inmediata) y el tiempo estimado para alcanzar el siguiente (valor descontado).
Aplicando iterativamente la ecuación de Bellman, puedes encontrar el valor más alto para cada estado y la mejor solución para tu problema original.
La ecuación de Hamilton-Jacobi
La ecuación de Hamilton-Jacobi amplía la ecuación de Bellman describiendo la relación entre la función de valor y la dinámica del sistema. Esta ecuación se utiliza para problemas de tiempo continuo para derivar directamente la ley de control óptimo, es decir, la acción a tomar en cada estado.
Relación de recurrencia
La relación de recurrencia define cada término de la secuencia en términos de los términos precedentes. Usando esto, puedes determinar recursivamente la secuencia especificando primero una condición inicial y luego su relación con cada elemento subsiguiente.
En consecuencia, cuanto más sólida sea la solución para cada subproblema, más eficaz será la solución para el gran problema.
Subproblemas Superpuestos y Memoización en Programación Dinámica
El solapamiento de subproblemas se produce cuando el mismo problema forma parte de varios subproblemas -que se resuelven repetidamente- en el proceso de resolución del problema original. La programación dinámica evita esta ineficacia almacenando las soluciones en una tabla o matriz para futuras consultas.
La memorización optimiza va un paso más allá. Almacena los resultados de funciones costosas y los reutiliza cuando se repiten las mismas entradas. Así se evitan los cálculos redundantes, lo que mejora notablemente la eficacia del algoritmo.
La evaluación perezosa, también conocida como llamada por necesidad, simplemente pospone la evaluación de una expresión hasta que el valor es realmente necesario. Esto también aumenta la eficiencia al evitar cálculos innecesarios y mejorar el rendimiento.
En resumen, ésta es la estructura y el enfoque que podrías adoptar en la programación dinámica para resolver problemas.
- Identificar subproblemas superpuestos: Con la ayuda de plantillas de enunciados de problemas determinar qué subproblemas se resuelven varias veces
- Ejecutar evaluación perezosa: Hacer sólo aquellas evaluaciones para las que los valores son necesarios
- Almacenar resultados: Utilizar estructuras de datos (como un diccionario, una matriz o una tabla hash) para almacenar los resultados de estos subproblemas
- Reutilizar resultados: Antes de resolver un subproblema, comprueba si su resultado ya está almacenado. En caso afirmativo, reutilice el resultado almacenado. Si no, resuelve el subproblema y almacena el resultado para un uso futuro
Ahora que hemos visto cómo funciona la programación dinámica en teoría, veamos algunos de los algoritmos más comunes que utilizan esta técnica.
Algoritmos comunes de programación dinámica
El algoritmo de programación dinámica que utilizarías depende de la naturaleza del problema que estés resolviendo. Aquí están algunos de los algoritmos más utilizados hoy en día.
Algoritmo Floyd-Warshall
El algoritmo de Floyd-Warshall se utiliza para encontrar los caminos más cortos entre todos los pares de vértices de un grafo ponderado. Representa iterativamente la distancia más corta entre dos vértices cualesquiera, considerando cada vértice como un punto intermedio.
Algoritmo de Dijkstra
El algoritmo de Dijkstra encuentra el camino más corto desde un único nodo origen a todos los demás nodos de un grafo ponderado. Se utiliza en grafos con pesos de arista no negativos. Adopta el enfoque codicioso para hacer la elección localmente óptima en cada paso para encontrar el camino más corto global.
Algoritmo de Bellman-Ford
El algoritmo de Bellman-Ford encuentra los caminos más cortos desde un único vértice de origen a todos los demás vértices de un grafo ponderado, incluso si contiene aristas de peso negativo. Funciona actualizando iterativamente la distancia más corta conocida a cada vértice considerando cada arista del grafo y mejorando el camino encontrando uno más corto.
Algoritmo de búsqueda binaria
El algoritmo de búsqueda binaria encuentra la posición de un valor objetivo en una matriz ordenada. Comienza con el rango de búsqueda de toda la matriz y divide repetidamente el intervalo de búsqueda por la mitad.
El algoritmo compara el valor objetivo con el elemento central de la matriz. Si el valor objetivo es igual al elemento central, la búsqueda se completa. Si es menor que, la búsqueda continúa en la mitad izquierda de la matriz. Si es mayor que, lo hace en la mitad derecha. Este proceso se repite hasta encontrar el valor objetivo o el rango de búsqueda vacío.
Veamos algunos ejemplos y aplicaciones reales de la programación dinámica.
Ejemplos de Algoritmos de Programación Dinámica
Torre de Hanoi
fuente Wikimedia Commons Aunque no conozcas el nombre, lo más probable es que hayas visto la Torre de Hanói. Se trata de un rompecabezas en el que tienes que mover una pila de discos de una barra a otra, de uno en uno, asegurándote siempre de que no haya un disco más grande encima de otro más pequeño.
La programación dinámica resuelve este problema:
- Desglosándolo en mover n-1 discos a una barra auxiliar
- Mover el enésimo disco a la barra de destino
- Mover los n-1 discos de la barra auxiliar a la barra objetivo
Al almacenar el número de movimientos necesarios para cada subproblema (es decir, el número mínimo de movimientos para n-1 discos), la programación dinámica garantiza que cada uno de ellos sólo se resuelva una vez, reduciendo así el tiempo total de cálculo. Utiliza una tabla para almacenar los valores calculados previamente para el número mínimo de movimientos de cada subproblema.
Multiplicación matricial en cadena
La multiplicación matricial en cadena describe el problema de la forma más eficiente de multiplicar una secuencia de matrices. El objetivo es determinar el orden de las multiplicaciones que minimice el número de multiplicaciones escalares.
El enfoque de programación dinámica ayuda a dividir el problema en subproblemas, calculando el coste de multiplicar cadenas más pequeñas de matrices y combinando sus resultados. Resuelve iterativamente cadenas de longitudes crecientes, el algoritmo garantiza que cada subproblema sólo se resuelva una vez.
Problema de la subsecuencia común más larga
El problema de la subsecuencia común más larga (LCS) tiene como objetivo encontrar la subsecuencia más larga común a dos secuencias dadas. La programación dinámica resuelve este problema construyendo una tabla en la que cada entrada representa la longitud de la LCS.
Al rellenar la tabla de forma iterativa, la programación dinámica calcula de forma eficiente la longitud de la subsecuencia común más larga y, en última instancia, la tabla proporciona la solución al problema original.
Aplicaciones reales de la programación dinámica
Aunque la programación dinámica es una teoría matemática avanzada, se utiliza ampliamente en la ingeniería de software para una serie de aplicaciones.
Alineación de secuencias de ADN: En bioinformática, los investigadores utilizan la programación dinámica para varios casos de uso, como la identificación de similitudes genéticas, la predicción de estructuras de proteínas y la comprensión de las relaciones evolutivas.
Al descomponer el problema de alineación en subproblemas más pequeños y almacenar las soluciones en una matriz, el algoritmo calcula la mejor coincidencia entre secuencias. Este marco convierte en prácticas tareas que, de otro modo, serían inviables desde el punto de vista computacional.
Programación y encaminamiento de líneas aéreas: Representando los aeropuertos como nodos y los vuelos como aristas dirigidas, los planificadores utilizan el método Ford-Fulkerson para encontrar la ruta óptima de los pasajeros a través de la red.
Al aumentar iterativamente las rutas con la capacidad disponible, estos algoritmos garantizan la eficiencia de las rutas
y el equilibrio entre la demanda y la disponibilidad, aumentando la eficacia y reduciendo los costes.
Optimización de carteras en finanzas: Los banqueros de inversión resuelven el problema de la asignación de activos entre varias inversiones para maximizar el rendimiento y minimizar el riesgo mediante programación dinámica.
Al dividir el periodo de inversión en etapas, la programación dinámica evalúa la asignación óptima de activos para cada etapa, teniendo en cuenta los rendimientos y riesgos de los distintos activos. El proceso iterativo consiste en actualizar la estrategia de asignación en función de la nueva información y de las condiciones del mercado, refinando continuamente la cartera.
Este enfoque garantiza que la estrategia de inversión se adapte a lo largo del tiempo, dando lugar a una cartera equilibrada y optimizada que se ajuste a la tolerancia al riesgo y a los objetivos financieros del inversor.
Planificación de redes de transporte urbano: Para encontrar los caminos más cortos en las redes de transporte urbano, los planificadores recurren a la teoría de grafos y caminos, que utiliza la programación dinámica.
Por ejemplo, en el sistema de transporte público de una ciudad, las estaciones se representan como nodos y las rutas como aristas con pesos correspondientes a los tiempos o distancias de viaje.
El algoritmo Floyd-Warshall optimiza las rutas de viaje actualizando iterativamente los caminos más cortos utilizando la relación entre rutas directas e indirectas, reduciendo el tiempo total de viaje y mejorando la eficiencia del sistema de transporte.
A pesar de sus numerosas aplicaciones, la programación dinámica no está exenta de dificultades.
Retos de la programación dinámica
A diferencia del enfoque de búsqueda por fuerza bruta, en el que se prueban todas las soluciones posibles hasta encontrar la correcta, la programación dinámica ofrece la solución más optimizada para un problema grande. Al hacerlo, aquí hay algunos factores clave a tener en cuenta.
Gestión de múltiples subproblemas
Desafío: La programación dinámica requiere gestionar numerosos subproblemas para llegar a la solución del problema mayor. Esto significa que usted debe:
- Considerar cuidadosamente la organización de los resultados intermedios para evitar cálculos redundantes
- Identificar, resolver y almacenar cada subproblema en un formato estructurado como una tabla o una matriz de memoización
- Gestionar eficazmente la memoria cuando aumente la escala de los subproblemas
- Calcular y recuperar con precisión cada subproblema
Solución: Para hacer todo esto y más, se necesita un robusto
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Definición del problema
Desafío: Los problemas complejos pueden suponer un enorme reto para los equipos a la hora de comprenderlos, delimitarlos y descomponerlos en subproblemas significativos.
Solución: Reunir al equipo y hacer una lluvia de ideas.
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Depuración y pruebas
Desafío: Depurar y probar soluciones de programación dinámica puede resultar complejo debido a la interdependencia de los subproblemas. Los errores en un subproblema pueden afectar a toda la solución.
Por ejemplo, una relación de recurrencia incorrecta en el problema de la distancia de edición puede dar lugar a resultados globales incorrectos, lo que dificulta la localización exacta del origen del error.
**Soluciones
- Revisar el código
- Siga la programación en parejas para que otros miembros del equipo revisen el código o trabajen juntos en la implementación, detectando errores y aportando diferentes perspectivas
- Utilice herramientas de análisis de la causa raíz identificar el origen de los errores para evitar que vuelvan a producirse
Mala gestión de la carga de trabajo
Desafío: Cuando diferentes miembros del equipo son responsables de distintas partes del algoritmo, pueden producirse incoherencias en la comprensión de los casos base, las definiciones de los subproblemas y la desigual
gestión de la carga de trabajo
que conducen a resultados incorrectos.
**Soluciones Superar este reto mediante la aplicación de
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Vista de la carga de trabajo de ClickUp
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Coordinación y colaboración
Desafío: Los problemas complejos requieren una comprensión profunda y una aplicación precisa. Garantizar que todos los miembros del equipo coinciden en la formulación del problema, las relaciones de recurrencia y la estrategia general es una tarea ingente.
**Solución Establecer una plataforma de colaboración unificada como ClickUp. El
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consolida todos los mensajes, lo que le permite gestionar todas las conversaciones en un solo lugar. Puede etiquetar a los miembros de su equipo y añadir comentarios sin mover diferentes herramientas.
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Optimización del rendimiento
Desafío: Optimizar el rendimiento de una solución de programación dinámica exige tener muy en cuenta tanto la complejidad temporal como la espacial. Es frecuente que, mientras una parte del equipo optimiza la complejidad temporal, otra aumenta inadvertidamente la complejidad espacial, lo que conduce a un rendimiento global subóptimo.
Solución:
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Documentación y transferencia de conocimientos
Desafío: Los equipos ágiles dan prioridad al software operativo sobre la documentación. Esto puede suponer un reto único. Por ejemplo, si las relaciones de recurrencia no están bien documentadas, los nuevos miembros del equipo pueden tener dificultades para entender y construir sobre la solución existente.
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Los problemas actuales son, por definición, complejos. Especialmente dada la profundidad y sofisticación del software actual, los problemas a los que se enfrentan los equipos de ingeniería son inmensos.
La programación dinámica ofrece un enfoque eficiente y eficaz para la resolución de problemas. Reduce los cálculos redundantes y utiliza procesos iterativos para reforzar los resultados al tiempo que optimiza la capacidad y el rendimiento.
Sin embargo, gestionar iniciativas de programación dinámica de principio a fin requiere una gestión de proyectos eficaz y
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Preguntas frecuentes
1. ¿Qué se entiende por programación dinámica?
El término programación dinámica se refiere al proceso de resolver algorítmicamente problemas complejos dividiéndolos en subproblemas más sencillos. El método da prioridad a la resolución de cada subproblema una sola vez y almacena su solución, normalmente en una tabla, para evitar cálculos redundantes.
2. ¿Cuál es un ejemplo de algo de programación dinámica?
Se puede utilizar la programación dinámica para determinar la estrategia óptima en cualquier cosa, desde la secuencia de Fibonacci hasta la cartografía espacial.
Uno de los ejemplos de programación dinámica es el problema de la mochila. En este caso, se tiene un conjunto de elementos, cada uno con un peso y un valor, y una mochila con una capacidad máxima de peso. El objetivo es determinar el valor máximo que se puede llevar en la mochila sin sobrepasar la capacidad de peso.
La programación dinámica resuelve este problema dividiéndolo en subproblemas y almacenando los resultados de estos subproblemas en una tabla. A continuación, utiliza estos resultados para construir la solución óptima del problema global.
3. ¿Cuál es la idea básica de la programación dinámica?
La idea básica es abordar los problemas de programación dinámica descomponiéndolos en subproblemas más sencillos, resolviendo cada uno de ellos una vez, hasta llegar a la solución del problema más amplio.