アジャイルソフトウェア開発が、大規模でモノリシックなアプリケーションを小規模で相互接続されたマイクロサービスに分解することだとすれば、ダイナミックプログラミングは複雑な問題に対して同様のアプローチをとる。
ただし、動的計画法は必ずしもコンピューター・プログラミングの概念ではない。数学者のリチャード・E・ベルマンが1950年代に開発して以来、動的計画法は業界を問わず複雑な問題を解決するために使われてきた。
このブログ記事では、あなたのソフトウェアチームのパフォーマンスを向上させるために、この概念とその原理をどのように利用できるかを見ていく。
動的計画法とは？
動的計画法とは、複雑な問題をより単純な部分問題に再帰的に分解することである。
これは、大きな問題を扱いやすい部分に分割する、分割統治的なアプローチを示唆している。最小の部分問題を解きながら仕事を進めることで、解を組み合わせて元の複雑な問題の答えを導き出すことができる。
この名前の由来についてベルマンは、「ダイナミック」という言葉を選んだのは、多段階または時間的に変化するものを表すからだと書いている。また、形容詞として使われるだけでなく、古典的な物理学的な意味でも絶対的に正確な意味を持っている。彼は、プランニング、意思決定、思考よりも「プログラミング」という言葉の方が適していると考えたからである。
その意味で、ダイナミック・プログラミングは手法であると同時に、試行錯誤を重ねた構造でもある。
動的計画法の構造
動的計画法を効果的に使うには、2つの鍵を理解する必要がある：
最適な部分構造
最適部分構造（optimal sub-structure）または最適性（optimality）とは、複雑な問題を部分的な問題に分解する再帰的なプロセスのことである。最適性は、問題を分解する方法の重要性を強調する。
ソース: ウィキメディア・コモンズ
ベルマン方程式
ベルマン方程式は、最適な部分構造を構築するのに役立つ重要なツールである。これは、2つの事柄に基づいて決定や行動の価値を表現することで、複雑な問題をより単純な部分問題に分解する：
- 意思決定／行動の直接的な報酬
- その決定／行動の結果としての次の状態の割引価値
例えば、ホームからオフィスまでの最適なルートを決めるとしよう。動的計画法を使って、あなたは旅をいくつかのマイルストーンに分解する。そして、ベルマン方程式を適用して、マイルストーンに到達するまでの時間（即時報酬）と、次のマイルストーンに到達するまでの見積もり時間（割引価値）を考える。
ベルマン方程式を繰り返し適用することで、各状態の最高価値と、元の問題に対する最適解を見つけることができる。
ハミルトン-ヤコビ方程式
ハミルトン-ヤコビ方程式は、価値関数とシステムダイナミクスの関係を記述することで、 ベルマン方程式を拡張したものである。この方程式は連続時間問題で使用され、最適な制御則、つまり各状態で取るべき行動を直接導きます。
再発関係(Recurrence relation)
再発関係は、各シーケンスの項を直前の項の観点から定義する。これを使用すると、最初に初期条件を指定し、それに続く各アイテムとの関係を指定することで、シーケンスを再帰的に決定することができます。
その結果、各サブ問題に対する解を強くすれば、大きな問題に対する解をより効果的にすることができる。
動的計画法における重複部分問題とメモ化
重複部分問題は，元の問題を解く過程で，同じ問題が複数の部分問題の一部となり，繰り返し解かれる場合に発生する．動的計画法では，解をテーブルや配列に保存して後で参照できるようにすることで，このような非効率を防ぐことができる．
メモ化最適化はさらにステップを進める。高価な機能の結果を保存しておき、同じ入力が再び発生したときに再利用するのだ。これにより冗長な計算を防ぎ、アルゴリズムの効率を大幅に向上させる。
遅延評価はコール・バイ・ニード（call-by-need）とも呼ばれ、値が実際に必要になるまで式の評価を先延ばしにするだけである。これもまた、不要な計算を避けることで効率を高め、パフォーマンスを向上させる。
要約すると、これが問題解決のための動的計画法の構造とアプローチである。
- 重複する部分問題を特定する：の助けを借りて 問題文テンプレート の助けを借りて、どの部分問題が複数回解かれるかを決定する。
- 遅延評価を実行する：値が必要な評価のみを行う
- 結果を保存する：結果を保存する：データ構造（辞書、配列、ハッシュ・テーブルなど）を使用して、これらのサブ問題の結果を保存する。
- 結果を再利用する：結果を再利用する：部分問題を解く前に、その結果がすでに格納されているかどうかをチェックする。保存されている場合は、保存されている結果を再利用する。そうでない場合は、部分問題を解き、その結果を将来の使用のために保存する。
さて、動的計画法の理論的な仕事ぶりを見てきたところで、この手法を使った一般的なアルゴリズムを見てみよう。
一般的な動的計画法のアルゴリズム
動的計画法のアルゴリズムは，解く問題の性質に依存します．ここでは、今日最もよく使われているアルゴリズムをいくつか紹介します。
フロイド・ウォーシャル・アルゴリズム
Floyd-Warshallアルゴリズムは、重み付きグラフのすべての頂点のペア間の最短経路を見つけるために使用されます。各頂点を中間点とみなし、任意の2頂点間の最短距離を反復的に表す。
ダイクストラ・アルゴリズム
ダイクストラのアルゴリズムは、1つのソース・ノードから、重み付きグラフ内の 他のすべてのノードへの最短経路を求める。エッジの重みが負でないグラフで使用される。全体的な最短経路を見つけるために、各ステップで局所的に最適な選択を行う貪欲なアプローチをとる。
ベルマン・フォード・アルゴリズム
Bellman-Fordアルゴリズムは、負の重みの辺を含む場合でも、重み付きグラフ内の1つのソース頂点から他のすべての頂点への最短パスを見つける。私の仕事は、グラフの各辺を考慮して各頂点までの既知の最短距離を反復的に更新し、より短い辺を見つけて経路を改善することである。
バイナリ探索アルゴリズム
バイナリ探索アルゴリズムは、ソートされた配列内のターゲット値のポジションを見つける。配列全体の探索範囲から開始し、探索区間を繰り返し半分に分割する。
アルゴリズムはターゲット値と配列の中間要素を比較します。ターゲット値が中間要素と等しければ、探索は完了する。未満であれば、配列の左半分で探索を続ける。より大きければ、右半分でやること。このプロセスは、ターゲット値か空の検索範囲が見つかるまで繰り返される。
動的計画法の例と実際の応用例を見てみよう。
動的計画法のアルゴリズム例
ハノイの塔
ハノイの塔
ウィキメディア・コモンズ
名前を知らなくても、「ハノイの塔」を見たことがある人は多いだろう。ハノイの塔は、円盤の山を棒から棒へと移動させるパズルだ。
動的計画法はこの問題を次のようにして解決する：
- n-1個の円盤を補助棒に移動させる。
- n番目のディスクをターゲット・ロッドに移動する
- n-1個の円盤を補助棒からターゲット棒に移動させる
それぞれの部分問題に必要な移動数（すなわち、n-1個の円盤に対する最小の移動数）を記憶しておくことにより、動的計画法はそれぞれの問題を一度しか解かないようにし、全体の計算時間を短縮する。動的計画法では、各サブ問題の最小手数について以前に計算された値を格納するテーブルを使用する。
マトリックスの連鎖乗算
行列の連鎖乗算は、一連の行列を乗算する最も効率的な方法の問題である。目標は、スカラー乗算の数を最小にする乗算の注文を決定することである。
動的計画法のアプローチは、問題を部分問題に分割し、より小さな行列の連鎖を乗算するコストを計算し、その結果を組み合わせるのに役立つ。このアルゴリズムは、長さの増加する連鎖を繰り返し解き、各サブ問題が一度しか解かれないことを保証する。
最長公約数問題
最長部分共通 (LCS) 問題は，与えられた2つの系列に共通する最長の部分系列を 見つけることを目的とする．動的計画法は，各エントリーがLCSの長さを表すテーブルを構築することで， この問題を解く．
テーブルを繰り返し埋めることにより、動的計画法はLCSの長さを効率的に計算し、最終的にそのテーブルが元の問題の解を提供する。
動的計画法の実世界での応用
動的計画法は高度な数学理論であるが，ソフトウェア工学では広く応用されている．
DNA配列アライメント：バイオインフォマティクスでは、研究者は遺伝的類似性の特定、タンパク質構造の予測、進化関係の理解など、多くのユースケースで動的計画法を使用している。
アラインメント問題をより小さなサブ問題に分解し、解をマトリックスに格納することで、アルゴリズムは配列間の最良の一致を計算する。このフレームワークは、計算不可能なタスクを実用的なものにする。
航空会社のスケジューリングとルーティング：空港をノード、フライトを有向エッジとして表現し、プランナーはFord-Fulkerson法を用いて、ネットワークを通る乗客の最適ルーティングを求める。
利用可能なキャパシティで経路を反復的に補強することで、これらのアルゴリズムは効率的な経路決定を保証する。 リソース割り当て 資源の配分、利用率、需要と供給のバランス、効率の向上とコストの削減。
ファイナンスにおけるポートフォリオ最適化：投資銀行家は、動的計画法を用いて、リスクを最小化しながらリターンを最大化するために、様々な投資先への資産配分の問題を解決する。
ダイナミック・プログラミングは、投資期間をフェーズに分け、異なる資産のリターンとリスクを考慮しながら、各ステージにおける最適な資産配分を評価する。反復プロセスでは、新しい情報や市場の条件に基づいて配分戦略を更新し、ポートフォリオを継続的に改良していく。
このアプローチにより、投資戦略は時間の経過とともに適応し、投資家のリスク許容度と財務目標に沿ったバランスの取れた最適なポートフォリオになります。
都市交通ネットワークのプランニング：都市交通ネットワークの最短経路を見つけるために、プランナーは動的計画法を利用したグラフとパスの理論を使用します。
例えば、都市の公共交通システムでは、駅はノード、経路は所要時間や距離に対応する重みを持つエッジとして表される。
フロイド・ウォーシャル・アルゴリズムは、直接経路と間接経路のリレーションシップを用いて最短経路を繰り返し更新することにより移動経路を最適化し、全体的な移動時間を短縮して交通システムの効率を高める。
動的計画法には多くの応用例があるが、課題がないわけではない。
動的計画法の課題
正しい解を見つけるまであらゆる可能な解を試すブルートフォースサーチのアプローチとは異なり、動的計画法は大規模な問題に対して最も最適化された解を提供する。やることとしては、以下のような鍵がある。
複数の部分問題の管理
課題．動的計画法では、より大きな問題の解を導くために、多数の部分問題を管理する必要がある。これは、以下のことを意味する：
- 冗長な計算を避けるため、中間結果の構成を注意深く検討すること。
- 各サブ問題を特定し、解き、テーブルやメモ化配列のような構造化フォーマットで保存する。
- 部分問題の規模が大きくなった場合の効率的なメモリ管理
- 各サブ問題の正確な計算と検索
解決方法これらすべてをやること、そしてそれ以上のことをやるためには、ロバストな
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デバッグとテスト
課題動的計画法の解のデバッグとテストは、サブ問題の相互依存性のために複雑になることがあります。1つの部分問題のエラーは、解全体に影響する可能性がある。
例えば、編集距離問題の再発関係が正しくない場合、全体の結果が不正確になる可能性があり、エラーの原因を正確に突き止めることが難しくなります。
解決方法
- コードレビューの実施
- ペアプログラミングに従って、他のチームメンバーにコードをレビューしてもらったり、実装を一緒に作業してもらったりする。
- 使う 根本原因分析ツール ミスの原因を特定し、再発を防ぐ。
作業負荷の管理不足
課題：異なるチームメンバーがアルゴリズムの異なる部分を担当する場合、ベースケースの理解、サブ問題の定義、不均等が生じる可能性がある。
と、すべて正しくない結果につながる。
解決策効果的な
と
/でスケジューリングする。 https://help.clickup.com/hc/en-us/articles/6310449699735-Use-Workload-view ClickUpの作業負荷ビュー /%href/
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よくある質問
1.動的プログラミングとはどういう意味ですか？
動的計画法という用語は，複雑な問題をより単純な部分問題に分割することで， アルゴリズム的に解くプロセスを指す．この方法では、各サブ問題を一度だけ解くことを優先し、冗長な計算を避けるために、その解を、通常はテーブルに格納する。
2.動的計画法の例は？
動的計画法を使えば、フィボナッチ数列から空間マップまで、どんなものでも最適な戦略を決定できる。
動的計画法の例として、ナップザック問題がある。ここでは、それぞれ重さと価値を持つアイテムのセットと、最大重量キャパシティを持つナップザックを持っている。目標は、重さのキャパシティを超えない範囲でナップザックに入れられる最大の価値を決定することである。
動的計画法はこの問題を部分問題に分解し、その結果をテーブルに格納することで解決する。そして、これらの結果を用いて問題全体の最適解を構築します。
3.動的計画法の基本的な考え方は？
基本的な考え方は、動的計画法の問題をより単純な部分問題に分解し、それぞれを1回ずつ解きながら、より大きな問題の解を導き出すというアプローチである。